Resumo Provão de Matemática - 1ºbi

Critérios:
FRENTE 1:

• Razão e proporção 
• Regra de três
• Relações de pertinência e inclusão
• Operações com conjuntos
• Porcentagem
• Gráficos e tabelas
• Razões trigonométricas no triângulo
• tabela trigonométrica
• Relações fundamentais

Razão e Proporção

Razão é uma relação de divisão entre 2 números ou grandezas. São exemplos de razões: escala (razão entre desenho e realidade), velocidade (razão entre distância percorrida e tempo gasto), densidade ( razão entre massa e volume de um corpo). Proporção é uma igualdade entre duas razões (comparação), como por exemplo, fazer a metade de uma receita, todos os ingredientes devem ser proporcionalmente reduzidos para que o bolo tenha o mesmo sabor.

Exercícios sobre esse assunto são encontrados na folha de Matemática Básica, páginas 8 a 13 (ex. 1 a 10), com gabarito no verso da última folha.

Regra de Três

É uma maneira de resolução usada para problemas que envolvem comparação de razões. Ela é simples quando sói há duas grandezas e composta quando  há mais. Na resolução de problemas com regra de 3, é muito importante prestar atenção se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais (GDP ou GIP).

• Jonas recebe R$ 1.800 por 30 dias trabalhados. Quantos dias ele precisa trabalhar para ganhar R$ 1.200? – É GDP, pois quantos MAIS dias ele trabalhar, MAIS ele ganha.
• Dois pedreiros conseguem construir um muro em 6 horas. Se fossem três pedreiros, em quantas horas o muro seria construído? É GIP,  pois quanto MAIS pedreiros houver, MENOS tempo demorará a construção.

 Para resolver a regra de três, primeiramente, organizamos as grandezas em colunas. Vamos analisar o 1º exemplo:

Salário               Dias 

1800                  30

1200                   X

A seguir, faremos a multiplicação em x, que formará uma equação, já que as duas grandezas são proporcionais.

1200.30 = 1800.X

3600 = 1800X

3600/1800 = X

20 = X

Jonas terá de trabalhar 20 dias para receber R$ 1200.
Em caso de as grandezas serem GIP, é só inverter uma das colunas antes montar a equação.
Para casos de regra de três composta, quando há mais de duas grandezas, é um pouco mais complexo. Eis um exemplo resolvido:

• Para encher um tanque de 400 m² de capacidade, duas torneiras levaram 4 horas. Quantas horas levariam 6 torneiras, se o tanque tivesse apenas 300 m²?

Como na regra de três simples, para começar, deve-se colocar todas as grandezas em colunas.

Capacidade       Torneiras      Horas

       400                    2               4  

          300                    6               X    

Agora, devemos comparar cada uma das grandezas com a principal, que é a que contém o X, no caso as horas. Quanto MAIOR for a capacidade do tanque, MAIOR vai ser o tempo gasto para encher, então é GDP. Quanto MAIS torneiras houver, MENOS tempo elas levarão para encher um tanque, então é GIP.

Para montar o cálculo, primeiramente, invertem-se todas as grandezas GIP. Após, coloca-se a grandeza com o X de um lado, e as outras devem ser multiplicadas do outro.Assim

4 =  6  . 400

X     2  .  300

4 = 2400

X     600

Depois de efetuada a multiplicação, é só fazer a regra de três simples, como vista antes.

4 . 600 = 2400.X

2400 = 2400X

1=X

Então 1h será o tempo levado por 6 torneiras para encher um tanque de 300m².

Caso ainda não tenha ficado bem claro, sugiro dar uma olhada no site https://www.regradetres.com.br/regra-de-tres-composta.html.

Exercícios: Matemática básica, p. 15 até 17. (gabarito no verso da última folha) e CA P. 99 e 100 (gabarito no site)

Relações de Pertinência e Inclusão
Essas duas relações são encontradas nos conjuntos de matemática. Conjuntos são agrupamentos de elementos com algo em comum, como serem letras consoantes, ou números inteiros de 1 a 20.
Para representar um conjunto, podemos fazer de três formas.

N = {1,2,3,4,5,6,} 

N={x/x é número natural entre 1 e 6}

A relação de pertinência é entre um elemento e um conjunto. Quando um elemento pertence a um conjunto, usamos o simbolo ∈. Quando não pertence, usamos ∉. Exemplo:   

3 ∈ N

9 ∉ N

Já a relação de inclusão uma comparação entre conjuntos. Para dizer que um conjunto então incluso em outro, usamos o símbolo ⊂, que significa "está contido".Para dizer que ele não está contido, usamos o símbolo⊄. Os símbolos para "contém" e "não contém" são inversos: ⊃ e ⊅. Para gravar, é só lembrar que o lado aberto do C sempre fica para o que contém, e o fechado para o contido. Exemplo:

A={1,2,3}

B = {1,2,3,4}

A⊂B (A está contido em B) 

B⊃A (B contém A)

B⊄A (B não está contido em A)

A⊅B (A não contém B)

Quando um conjunto contém outro, o que está contido é na verdade um subconjunto do primeiro. Para saber quantos subconjuntos um conjunto possui, basta escrever o número de elementos do conjunto como uma potência de 2, com o nº de elementos sendo o expoente. Assim:

A={1,2,3}    3 elementos      2³ = 6 subconjuntos

Exercícios: CA p.22  ex. 35 e 36.

Operações com Conjuntos
As operações entre conjuntos são três: união, intersecção e diferença.
União é juntar todos os elementos dos conjuntos entre si. É representado pelo símbolo ⋃. Exemplo:
A={1,2,3} B={2,3,4,5}
A⋃B={1,2,3,4,5} (não é necessário repetir os números)

A interseccão é o que os conjuntos têm em comum. É representada pelo símbolo ⋂. Exemplo:

A= {1,2,3,4,5}   B= {4,5,6,7,8,9}

A⋂B = {4,5}

A diferença é todos os elementos do 1º conjunto que o segundo não possui, como uma subtração. É representado com o sinal de -. Exemplo:

A={4,5,6} B= {6,7,8}

A-B={4,5}

Exercícios: CA p. 22 e 23 ex. 37 (a,b,c,d) até 40.

Porcentagem:

A porcentagem é uma comparação de um número com o número 100. Por exemplo: Dos 40 alunos da turma, 25% gosta de matemática. Está comparando a quantidade de alunos (40) com 100, sendo 40 o total inteiro, e 25% é a quantidade que gosta de matemática. A porcentagem pode ser representada de forma decimal (0,25), de forma fracinária (25/100) ou com o símbolo %.

Exemplo: Meia xícara é 50% de uma xícara, ou 50/100, que sabemos que se simplificado será 1/2. Também pode ser 0,50 de uma xícara.

A porcentagem é resolvida por um regra de três. Exemplo: dos 420 alunos de uma escola, 15% é da educação infantil. Quantos alunos há na educação infantil?

Como em qualquer regra de três, primeiro montamos as colunas.

Alunos            %

420              100

X               15

420 é o total inteiro do número de alunos (100%), e os alunos da educação infantil são 15% desse total. Agora multiplicamos em X:

420. 15 = 100x

6300 = 100x

6300/100 = x

63 = x

Essa escola possui 63 alunos na educação infantil.

Exercícios: CA p. 101 e 102 (gabarito no site) e Matemática Básica P. 20 a 23 (gabarito no verso da última folha)

      
Gráficos e Tabelas
Exercícios: Matemática básica p. 25 a 31( gabarito no verso da última folha)

Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
São elas, seno, cosseno e tangente. São relações constantes que existem entre os lados do triângulo, de acordo com seu ângulo. Por exemplo: em um triângulo de ângulo X, o cateto oposto é sempre 4 vezes maior do que o adjacente.
O seno é a divisão do cateto oposto ao ângulo pela hipotenusa do triângulo.

O cosseno é a divisão do cateto adjacente ao ângulo analisado pela hipotenusa.

A tangente é a relação entre o cateto oposto ao ângulo pelo adjacente.

Agora um exemplo de problema: Qual o valor de X? O ângulo analisado mede 28°. Temos a medida de seu cateto adjacente, que é 20m, e queremos saber a medida do cateto oposto. Para isso usamos a fórmula da tangente, que tem a medida que sabemos e a que queremos descobrir. Tg = ca/co. Segundo a tabela trigonométrica,  a tangente de 28° é 0,53.

tg 28º = x / 20

0,53 = x / 20

x = 0,53 . 20

x = 10,6 m

Exercícios: Livro p. 318 e 319 ( gabarito no fim do livro) e CA p. 103 até 109. ( para fazer os exercícios do CA, é necessário saber de cor os ângulos notáveis 30°,45° e 60°, daquela tabelinha com a música chata)

Tabela Trigonométrica
É a tabela que consta no livro p. 339, que tem os valores de seno, cosseno e tangente para todos os ângulos. É importante saber pelo menos os valores dos ângulos mais importantes, que são 30°, 45° e 60°. Então, aqui está a famosa tabelinha dos Ângulos notáveis:

Dica para quem não gosta do método da musiquinha chata: Repare que na verdade, não são 9 valores, mas apenas 6, pois eles se repetem, sendo que alguns, como 1 e 1/2, são bem fáceis de identificar nos desenhos. Assim são apenas 4 valore para decorar!

Relações Fundamentais:
São relações que ocorrem entre os valores de seno, cosseno e tangente, e que ajudam a achar a solução de problemas.
São elas:

• seno² + cosseno² = 1
• tangente = seno/cosseno

No livro, p. 316 e 317, está explicado detalhadamente de onde essas fórmulas surgiram.

Exercício resolvido do CA, p.111 ex. 320 (acompanhar o enunciado no CA)

O exercício mostra um triângulo como o da imagem, e pede a medida de X. Ele informa que o cateto oposto a A mede 10m, e que o seno de A é 0,6.

A relação entre a medida que temos ( oposto) e a que queremos descobrir (adjacente) é a tangente. Não temos o valor da tangente, mas temos o do seno. Para usar a fórmula que descobre a tangente, precisamos saber o cosseno, e para isso usamos a primeira Relação Fundamental.

seno² + cosseno² = 1

0,6² + cos² = 1

0,36 + cos² = 1

cos² = 1-0,36

cos² = 0,64

cos= ⎷0,64

cos=0,8

Sabendo o cosseno, usamos a segunda Relação Fundamental para saber a tangente:

tg = sen/ cos

tg = 0,6/0,8

tg= 0,75

Com o valor da tangente, podemos finalmente saber o valor do cateto adjacente.

tg= co/ca

0,75 = 10 / x

0,75 x = 10

x = 10 / 0,75

x = 13,33

Exercícios: CA p. 110 até 112 (gabarito no site)

Bons estudos a todos, desculpem pelo atraso!;)